Пробный вариант ЕГЭ по математике (Вариант 3)

1. Магазин закупает тетради у производителя оптом по 16 рублей за штуку и продает их по розничной цене на 50% выше оптовой. Какое наибольшее число таких тетрадей можно купить по розничной цене на 1150 рублей?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Перми за каждый месяц 2015 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, на сколько градусов Цельсия март был в среднем холоднее августа.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1\(\times \)1 изображен угол. Найдите синус этого угла.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

4. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

5. Решите уравнение: \(log_{x-5}49=2. \) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

6. К окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 12, 18. Найдите периметр данного треугольника.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

7. На рисунке изображен график производной некоторой функции \(y=f(x)\), определенной на интервале \((-6;6).\) В какой точке отрезка \([1; 3]\) функция \(y=f(x)\) принимает наименьшее значение?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

8. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем оставшейся части.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

9. Найдите значение выражения: \(\sqrt{3}cos^{2}\displaystyle \frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}sin^{2}\displaystyle \frac{5\pi }{12}.\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f=30\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\displaystyle \frac {1}{d_1}+ \frac {1}{d_2}=\frac {1}{f}.\) Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса вторoго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

12. Найдите наибольшее значение функции \(y=12cosx+6\sqrt{3}\cdot x-2\sqrt{3}\pi +6\) на отрезке \(\left[0; \displaystyle \frac{\pi }{2}\right ].\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

13.а) Решите уравнение: \(16cos^4 x-24cos^2 x+9=0.\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([2π;3π].\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

14. В правильной четырехугольной пирамиде \(PABCD\), все ребра которой равны 8, точка \(K\) ― середина бокового ребра \(AP.\)

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(K\) и параллельной прямым \(PB\) и \(BC.\)

б) Найдите площадь сечения.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{2}{7^x-7}\geq \frac{5}{7^x-4}.\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

16. Авторская задача. Высоты равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) пересекаются в точке \(H\), угол \(B\) равен 30 градусов. Луч \(CH\) второй раз пересекает окружность \(\omega\), описанную вокруг треугольника \(ABH\), в точке \(K.\)

а) Докажите, что \(BA\) – биссектриса угла\(KBC.\)

б) Отрезок \(BC\) пересекает окружность \(\omega\) в точке \(E.\) Найдите \(BE\), если \(AC=12.\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

17. Авторская задача.  1 апреля 2017 года Кристина и Карина увидели в магазине губную помаду редкого зеленого цвета стоимостью 5000 рублей.

Чтобы купить помаду, Кристина в тот же день взяла в микрокредитной организации кредит на 5000 рублей под 1% в день сроком на 1 год (365 дней), причем ежедневные платежи по кредиту списывались с банковского счета Кристины и подбирались так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно.

Карина тоже купила зеленую помаду, в этот же день взяв кредит на сумму 5000 рублей. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 50% на оставшуюся сумму долга, и затем Карина переводит в банк очередной платеж. Известно, что Карина выплатила кредит двумя равными платежами.

Сколько заплатили Кристина и Карина за помаду редкого зеленого цвета?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

18. Авторская задача. При каких значениях параметра \(c\) уравнение \(5sin^2 x=11 sinx+c\) не имеет двух решений на интервале \((0;2π)\)?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

19. (ЕГЭ-2017). На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 240?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.