Пробный Вариант ЕГЭ по математике. Вариант 5.

1. Авторская задача. Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разницу между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 7 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

3. Авторская задача. На координатной плоскости заданы точки \(A (1;1), \ B (2; 3), \ C (-2; 0)\) и \(D (2; -2)\). Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\).
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

4. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

5. Решите уравнение: \( sin \displaystyle \frac{\pi (4x-3)}{4}=1.\) В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

6. Авторская задача. Точка \(M\) расположена на стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) так, что \(AM = 3, \ BM = 7\). Площадь треугольника \(ACM\) равна 15. Найдите площадь треугольника \(BCM\).
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

7. На рисунке изображен график производной функции \(y= f (x).\) При каком значении \(x\) эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке \([-4; -2]\)?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

8. Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

9. Найдите \(tg \alpha \), если \(\displaystyle \frac{7sin\alpha +13cos\alpha }{5sin\alpha -17cos\alpha }=3.\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

10. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(pV^a=const\), где \(p\) (Па) — давление в газе, \(V\) — объём газа в кубических метрах, \(a\) — положительная константа. При каком наименьшем значении константы \(a\) увеличение в 16 раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее чем в 32 раза?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

11. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

12. Найдите наименьшее значение функции \(y=(x^2-8x+8)e^{2-x}\) на отрезке \([1; 7].\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

13. Авторская задача. \(\sqrt{2}\begin{vmatrix} sinx \end{vmatrix}=tgx.\)

а) Решить уравнение.

б) Найти все его корни на отрезке \([-3π; 2π].\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

14. Точка \(P\) лежит на диаметре \(AB\) сферы. При этом \(AP : PB = 3 : 1\). Через прямую \(AB\) проведена плоскость \(\alpha \), а через точку \(P\) – плоскость \(\beta,\) перпендикулярная \(AB\). Отрезок \(CD\) – общая хорда окружностей сечений сферы этими плоскостями, \(S\) – окружность пересечения сферы с плоскостью \(\beta , \ M\) – точка, лежащая на окружности \(S.\)

а) Докажите, что \(AM = CD.\)

б) Найдите объем пирамиды с вершиной \(M\) и основанием \(ABCD\), если диаметр сферы равен 12, а \(M\) – наиболее удаленная от плоскости \(\alpha \) точка окружности \(S.\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

15. Авторская задача. Решите неравенство: \(ln(x^2-x-2)\leq 1+ln \displaystyle \frac{x+1}{x-2}.\)
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

16. Авторская задача. Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность; лучи \(BA\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), углы \(BPC\) и \(ACD\) равны \(30^{\circ}, \ BC= \sqrt{\displaystyle \frac{3}{2}}AB.\)

а) Докажите, что \(BC\) и \(AD\) параллельны.

б) Найдите длину отрезка, соединяющего середины \(AC\) и \(BD\), если \(R=2\).
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

17. Авторская задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 64 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на \(p\)% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите \(p\), если известно, что кредит будет полностью погашен за три года, причём в первый и второй год будет выплачено по 16000 рублей, а в третий год — 80 000 рублей.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых неравенство

\(|(|x^2-6x+5|-x^2+6x-13)|< a-a^2-(x-2)^2+2x-4\) имеет единственное целое решение.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

19. На доске написано число \(N = 2345623456.\)

а) Можно ли, приписав к числу \(N\) справа две цифры, получить в результате число, кратное 72?

б) Можно ли, приписав к числу \(N\) справа три цифры, получить в результате число, кратное 792?

в) Сколькими способами можно вычеркнуть из числа \(N\) две цифры так, чтобы полученное число делилось на 12?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.