Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Цена ноутбука с учетом скидки в размере 25% составляет 20400 рублей. Сколько рублей осталось бы от суммы в 30000 рублей после покупки компьютера по первоначальной цене?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
2. На рисунке показан график зависимости скорости движения игрушечной машинки от времени. По рисунку определите путь, пройденный машинкой за 8 секунд. Ответ выразите в сантиметрах.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD длины сторон АВ = 4, ВС = 3, СD = 12, угол АВС и угол ACD – прямые. Найдите длину стороны АD.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
4. Теплоход приходит к пристани между 12.00 и 13.00. Автобус отходит от пристани между 12.25 и 12.40. Пассажиру требуется 10 минут, чтобы перейти от теплохода к остановке автобуса. Найти вероятность того, что он успеет на автобус.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
5. Решите уравнение: \(\displaystyle 4^{x^2+4x}=\frac{1}{256}\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
6. К окружности с центром О проведены секущая МВ, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная МС. Длина хорды АВ равна 5, длина отрезка АМ равна 4. Найдите МС.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
7. На рисунке изображен график \({y=f}'(x)\) - производной функции \(y=f\left(x\right)\), определенной на интервале (- 11; 11). Найдите количество точек, принадлежащих этому интервалу, в которых касательная к графику функции \(y=f\left(x\right)\) параллельна прямой \(y=51-4x \) или совпадает с ней.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
8. Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей равна 13. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
9. Наталья Гаврилова.
Вычислить: \({log}_416\cdot {log}_327\cdot {log}_745\cdot {log}_{12}1\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
10. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне 
,через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m= 0,5 кг/c. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры 
до температуры T, причём 
, где 
- теплоёмкость воды, 
- коэффициент теплообмена, \(\alpha=1,4\) - постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 140 м.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
11. Имеется три металлических слитка. Первый весит 5 кг, второй – 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй с третьим – получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу (в кг) третьего слитка.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
12. Найдите наибольшее значение функции \(y=\left(x^2-10x+10\right)e^{10-x}\) на отрезке \(\left[5;11\right]\).
Посмотреть ответ Посмотреть решение
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13.Наталья Гаврилова.
а) Решите уравнение \(\sqrt{3}-4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }=\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[-5\pi;\ -\frac{5\pi}{2}\right]\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Анна Малкова.
Постройте сечение куба \(A\dots D_1 \) плоскостью, проходящей через середины ребер AB и BC и точку P, делящую ребро \(DD_1\) в отношении 2:5, считая от вершины \(D_1\).
а) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости \(DD_1B_1\).
б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно 1.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство \(\displaystyle \frac{{{\log }_7 12\ }}{{{\log }_7 \left(x^2-9\right)\ }}\geq \frac{{{\log }_5 \left(x^2+8x+12\right)\ }}{{{\log }_5 \left(x^2-9\right)\ }}\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. Дмитрий Мухин. B прямоугольном треугольнике ABC угол C - прямой. Точка O - центр вписанной окружности, точка P - центр окружности \(\omega,\) касающейся гипотенузы AB и продолжений катетов CB и CA.
а) докажите, что \(OP=\sqrt{2}AB.\)
б) найдите радиус \(\omega\), если радиус вписанной окружности равен 1, а длина отрезка AB равна 6.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. От пристани оторвалась баржа и поплыла вниз по течению, скорость которого равна v км/ч. Когда баржа проплыла 3 км, от пристани вдогонку за ней отплыл катер, скорость которого в стоячей воде равна 9 км/ч. Катер догнал баржу и отбуксировал ее назад на пристань со скоростью 4 км/ч.
а) Через сколько времени баржа была возвращена на пристань?
б) При какой скорости v это время было наименьшим?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Михаил Гуров. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
\(
\left\{ \begin{array}{c}
\left(x^4+y^2-1\right)log_2(x^2+y)=0, \\
y=ax^2+2 \end{array}
\right.
\) имеет ровно четыре различных решения.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Антон Акимов. Назовём число \(\overline{ABCDE}\) домашним, если его десятичная запись состоит из пяти различных цифр таких, что \(A\, \textless \,B\, \textless \,C\, \textgreater \,D\, \textgreater \,E.\)
а) Запишите наименьшее домашнее число.
б) Запишите наибольшее домашнее число, кратное 9.
в) Сколько существует домашних чисел, кратных 2475?
