Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова Старшеклассники, отдыхающие в летнем лагере, отправляются на морскую экскурсию на лодках. Каждая из лодок рассчитана на 12 человек. Сколько понадобится лодок, если в экскурсии участвуют 164 школьника, 20 сопровождающих матросов, 8 учителей и директор школы?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
2. Анна Малкова На рисунке представлен график зависимости силы тока (в амперах ) на участке цепи от напряжения на нем (в вольтах). Согласно закону Ома для участка цепи, \(\displaystyle I=\frac{U}{R},\) где R – сопротивление участка цепи. Найдите сопротивление R. Ответ выразите в омах ( 1 ампер ∙ 1 ом = 1 вольт).
Посмотреть ответ Посмотреть решение
3. Точка О – центр окружности, точка М – середина хорды АВ. Угол АОВ – прямой, ОС и АВ перпендикулярны. Точка Р лежит на дуге АВ, не содержащей точку С. Найдите величину угла ВРС. Ответ выразите в градусах.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
4. Анна Малкова Перед 8 марта кондитерская «Тортец», находящаяся в городе N, рассчитывает увеличить продажи тортов, для чего дает рекламу на городском телеканале и в городской газете объявлений, а также контекстную рекламу в интернете, которая будет показываться жителям города N.
Известно, что рекламу на телеканале увидят 10% жителей города N, рекламу в газете объявлений – 5% жителей, а контекстную рекламу 20% жителей города. С какой вероятностью житель города N увидит рекламу кондитерской «Тортец»?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
5. Анна Малкова Решите уравнение:
\(\sqrt {4x} = \sqrt {21-x^2 }\)
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
6. Анна Малкова Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 6, высота равна 3. Найдите периметр трапеции.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
7. Анна Малкова На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) — одной из первообразных функции \(f(x),\) определённой на интервале (−11; 11).
Найдите количество точек, принадлежащих отрезку [−6; 0], в которых функция \(y = f(x)\) меняет знак с положительного на отрицательный.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
8. Анна Малкова Найдите объем детали, состоящей из двух равных усеченных круговых конусов, если площади оснований равны 9, площадь круга в сечении, проходящем через середину высоты детали, равна 1, а высота детали равна 24.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
9. Найдите \(h(4+x)+h(4-x),\) если \(h(x)=\sqrt[9]{x}+\sqrt[9]{x-8}. \)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
10. Мяч бросили под углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле \(\displaystyle t = \frac{2v_0 sin \alpha}{8}. \)При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полeта составит 1,9 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0 = 19\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с²
Посмотреть ответ Посмотреть решение
11. Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
12. Анна Малкова Найдите наибольшее значение функции \(y=\sqrt {x^2-4x+13 }\) на отрезке \([- 0,5 ;6].\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Анна Малкова
а)Решите уравнение \(sin6x \cdot (cosx-sinx) = \sqrt 2 \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi ; -2\pi ]\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
14. Ирина Давыдова, Анна Малкова В усеченной правильной четырехугольной пирамиде \(ABCDA_1B_1C_1D_1 \) отношение площадей оснований \(\displaystyle \frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}=4.\)
Плоскость α проходит через центр нижнего основания параллельно прямым \(AA_1 \) и \(BC. \)
а) Докажите, что сечение усеченной пирамиды \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью α имеет пару равных сторон.
б) Найдите угол между плоскостью α и гранью \(CC_1D_1D,\) если известно, что \(AD = 12, AA_1 = 5.\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
15. Решите неравенство: \((6x+7)^2(3x+4)(x+1) \leq 6\)
Посмотреть ответ Посмотреть решение
16. Дмитрий Мухин Две окружности пересекаются в точках B и С и касаются некоторой прямой в точках A и D.
а) Докажите, что сумма углов ABD и ACD равна \(180^\circ .\)
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ACD, если радиусы двух исходных окружностей равны 2 и 3.
Посмотреть ответ Посмотреть решение
17. Сборник И. В. Ященко «36 тренировочных вариантов – 2020»
Банк выдает кредит на следующих условиях:
- 1-го числа каждого следующего месяца после открытия кредита сумма долга увеличивается на 1%,
- Выплата части долга происходит в период со 2-го по 14-е число каждого следующего месяца равными суммами.
Предприниматель С. планирует взять кредит на этих условиях в середине сентября на сумму 1,1 млн рублей, так, чтобы ежемесячные выплаты были в пределах от 120 до 130 тысяч рублей. На сколько месяцев С. должен взять кредит?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
18. Анна Малкова При каких значениях параметра а уравнение
\(9^{|x|}-4 \cdot 3^{|x|} -12=a^2-8a\)
имеет ровно 2 корня?
Посмотреть ответ Посмотреть решение
19. Статград, Тренировочная работа от 29 января 2020 года
На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.
а) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 14 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?
б) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 8 цифр?
в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n=4, если на доске написано ровно 20 цифр?
