Пробный вариант ЕГЭ по математике (Вариант 1)

1. Диагональ экра­на смартфона равна 4,7 дюйма. Вы­ра­зи­те диа­го­наль экра­на в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Ре­зуль­тат округ­ли­те до десятых.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

2. На графике показано изменение курса биткоина к рублю в 2017 году. Запишите порядковый номер месяца, в течение которого цена биткоина впервые превысила 600 тысяч рублей.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

3. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

4. (Авторская задача) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй - два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 - для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

5. Решите уравнение: \(sin\frac{\pi (x+9)}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\) В ответе напишите наименьший положительный корень.
Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

6. К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удалённой от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

7. На рисунке изображен график производной функции у = f´(x), определенной на интервале (-6; 6). В какой точке отрезка [3; 5] функция у = f(x) принимает наименьшее значение?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

8. Площадь полной поверхности конуса равна 9, образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти площадь поверхности сферы, вписанной в конус.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

9. Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{2sin(a-7\pi )+cos(\frac{3\pi }{2}+a)}{sin(a+\pi )}.\)

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

10. Ускорение свободного падения (в м/с²) на поверхности планеты рассчитывается по формуле , где G – гравитационная постоянная, .

Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты Плюк, если масса Плюка равна \(3,68\cdot 10^{24}\) кг, а его радиус равен \(4,6\cdot 10^{6}\) метров.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

11. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 56 и 52 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 15 секунд. Найдите длину второго поезда. Ответ выразите в метрах.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

12. Найдите точку максимума функции \(y=\log_{2}(2+2x-x^{2})-2\).

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

13. (Авторская задача) Дано уравнение:

\(\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0\)

а) Решите уравнение.

б) Найдите все его корни на отрезке [-4π ; 0].

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

14. (Авторская задача) На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка Р так, что SA = 2 AP. Точки М и N – середины ребер ВС и АС соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q.

а) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.

б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

15. (Авторская задача)

Решите неравенство:

.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

16. (Авторская задача) Боковая сторона АВ трапеции ABCD перпендикулярна основаниям АD и ВС. Из точки М, лежащей на стороне АВ, опущен перпендикуляр МР на противоположную боковую сторону.

а) Докажите, что точки М, В, С и Р лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если радиус вписанной в нее окружности равен 6,
а отношение АР : DM = 3 : 5.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

17. (Авторская задача) В марте 2014 года Андрей открыл вклад в банке. 1-го января каждого года банк начисляет некоторый постоянный процент p. Затем в марте Андрей пополняет счет таким образом, чтобы сумма денег на счете возрастала согласно следующей таблице:

В марте 2017 года Андрей, как обычно, пополнил вклад, а через месяц снял все деньги со счета. Известно, что всего Андрей дополнительно внес сумму, на 140% превышающую исходный вклад. Найдите p.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

18. Найдите все значения, при каждом из которых наименьшее значение функции \(f(x)=4ax+|x^2-6x+5| \) больше, чем -24.

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.

19. Последовательность \(a_1,\ a_2,...,a_n \ (n\geq 3)\) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?

Посмотреть ответ. Посмотреть решение.