Полезные факты для решения задач по геометрии

Анна Малкова

Полезные факты для решения задач ЕГЭ по геометрии (ЕГЭ по математике, Часть 2, профильный уровень).

Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии (задача 16, Профильный уровень)?

Школьные учебники геометрии (Л. С. Атанасян, А. Г. Мерзляк…) неплохие. Даже лучше, чем по алгебре. Однако в них нет задач из вариантов ЕГЭ. Непонятно, как по ним готовиться к ЕГЭ, на что обращать внимание. Да и нет времени в 11-м классе заново читать учебник и решать все задачи подряд.

В освоении планиметрии важен правильный подход. Многие начинают с реальных задач ЕГЭ, а когда не получается, чувствуют разочарование. Не стоит так делать.

Первый этап: выучите теорию. Определения, теоремы, признаки. Основные формулы. Например, для площади треугольника нам нужны 5 формул. Помните их? Все они применяются в решении задач. Теоремы синусов и косинусов. Свойства высот, медиан и биссектрис. И многое другое.

В этом вам поможет Полный справочник Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике.  Именно то, что нужно для решения задач ЕГЭ. Ничего лишнего. А цветные картинки запоминаются сами собой.

И конечно, практика! Решаем задачи ЕГЭ. Сначала – Часть 1, задачи 3 и 6. Не меньше 50 задач первой части ЕГЭ по теме «Планиметрия» надо решить, чтобы выучить и уметь применять теоремы и формулы планиметрии.

Изучить планиметрию и потренироваться в решении задач можно на нашем Онлайн-курсе.

Задачи, решения, видеоразбор.

Отлично, освоили задачи по планиметрии 1 части Профильного ЕГЭ по математике. Пора переходить ко второй! К задаче 16. Но не будем спешить. Пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике – доказательство. А вы знаете, что пункт (а) нужен не только для того, чтобы вы получили один из трех баллов за эту задачу? Что во многих задачах ЕГЭ №16 пункт (а) содержит идеи для решения пункта (б). Намеки на то, как решить задачу полностью. Надо научиться доказывать всевозможные утверждения планиметрии.
Мы публикуем для вас новый и ценный материал - доказательство полезных фактов. Это и повторение всего курса (7-9 класс), и «заготовки» для многих задач ЕГЭ.

Приведем список из 32 полезных фактов. Докажите их самостоятельно и проверьте решения по ссылкам.

Для большинства этих полезных фактов приведены примеры решения задач и первой, и второй части Профильного ЕГЭ по математике.

Углы, треугольники, четырехугольники

1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

2. Свойство медианы прямоугольного треугольника.

3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма.

4. Площадь выпуклого четырехугольника

5. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

6. Свойства равнобедренной трапеции

7. Замечательное свойство трапеции.

8. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

9. Свойства биссектрис треугольника.

10. Свойства медиан треугольника

11. Свойство высот треугольника.

Окружности

12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

13. Теорема о пересекающихся хордах.

14. Теорема о серединном перпендикуляре к хорде.

15. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

16. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

17. Угол между касательной и хордой.

18. Теорема о секущей и касательной.

19. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

20. Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

21. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен \(\frac{1}{2}\left ( a+b-c \right )\).

22. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

23. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и , то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно \(\sqrt{a^{2}-\left ( R-r \right )^2}\) и \(\sqrt{a^{2}-\left ( R+r \right )^2}\)

24. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

25. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

26. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.

27. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.

28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен \(\varphi\), то угол KLM \(90^{\circ}-\frac{1}{2}\varphi\).

30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.

31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \(\frac{3}{4}S\).

32. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.

*При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.